Side:Forelæsninger over den höiere mathematik.pdf/9

3

til en liden positiv Størrelse, forandrer ${\frac {a}{x}}$ pludselig Værdi fra en overmaade stor negativ Størrelse til en overmaade stor positiv Størrelse; $\operatorname {log.} {x}$ er kontinuerlig for Værdierne af $x$ mellem $x=0$ og $x=+\infty ,$ men diskontinuerlig for Værdierne af $x$ mellem $x=0$ og $x=-\infty$, idet den for disse bliver imaginær; $\operatorname {tang.} {x}$ er kontinuerlig mellem Grændserne: $x=-{\frac {\pi }{2}},$ og $x={\frac {\pi }{2}}$ ligesaa mellem Grændserne $x={\frac {\pi }{2}}$ og $x={\frac {3\pi }{2}},$ etc, men diskontinuerlig naar $x={\frac {\pi }{2}},$ fordi $\operatorname {tang.} {x},$ naar $x$ voxer fra lidt mindre end ${\frac {\pi }{2}}$ til lidt større end ${\frac {\pi }{2}},$ pludselig forandrer Værdi fra en overmaade stor positiv til en overmaade stor negativ Størrelse; Funktionen $y={\frac {1}{1+{\sqrt[{x}]{2}}}}$ er diskontinuerlig for $y=0,$ idet, naar $x$ fra at være positiv nærmer sig til $0,$ $y$ nærmer sig til $0,$ derimod, naar $x$ fra at være negativ nærmer sig til $0,$ $y$ nærmer sig til $1.$

I. Hele Funktioner.

§ 4.

Er $y$ en heel Funktion af $x,$ da kan den ordnes efter de stigende Potentser af $x$ saaledes:

$y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots +a_{n}x^{n},$

hvor $a_{0},a_{1},a_{3},..\ldots a_{n}$ betegne constante Størrelser. Er $n$ den høieste Exponent, hvortil $x$ findes ophøiet, kaldes Funktionen en heel Funktion af $n^{te}$ Grad.

Er $n$ en heel Funktion af flere Variable, $x,y,z,$ da kan den ligeledes ordnes efter de stigende Potentser af disse, eller, forsaavidt de forskjellige Variable forekomme multiplicerede med hinanden, efter den stigende Sum af deres Exponenter. Den siges da at være af samme Grad som den høieste Exponent eller Sum af de Variables Exponenter i noget Led. Saaledes er: $u=a_{0}+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}x^{2}+a_{4}xya_{5}y^{2}$ en heel Funktion af 2den Grad af $x$ og </math>y.</math>

§ 5.

Naar Qvotienten mellem to hele Funktioner selv er en heel Funktion, da siges Divisor at gaae op i Dividenden eller Dividenden at være delelig med Divisor. Saaledes gaaer Funktionen $2x-1$ op i Funktionon: $x^{3}+2x^{2}-7x+{\frac {23}{8}},$ idet deres Qvotient ${\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{4}}x-{\frac {23}{8}}$ er en heel Funktion 1*