Side:Forelæsninger over den höiere mathematik.pdf/8

2

Antal af de fem algebraiske Regningsarter, nemlig 1) Addition, 2) Subtraction, 3) Multiplication, hvorunder hører Potentseren, naar Exponenten er et heelt positivt Tal, 4) Division, hvorunder hører Potentseren, naar Exponenten er et heelt negativt Tal, og 5) Rodextraction, naar Exponenten er et heelt Tal, — da kaldes Størrelsen en algebraisk Funktion af de absolut variable Størrelser. Ere derimod andre Regningsarter anvendte, eller de ovennævne Regningsarter anvendte et uendeligt Antal Gange, f. Ex. de uafhængig Varible ophøiede til en irrational Potents, da kaldes Funktionen en transcendent Funktion.

Anvendes ikke den 5te Regningsart, Rodextraction, og forekommer altsaa i den algebraiske Funktion ingen af de variable Størrelser under noget Rodtegn, eller med Brøkexponent, da kaldes Funktionen en rational Funktion; enhver anden algebraisk Funktion kaldes derimod irrational. Anvendes i en rational Funktion ikke heller den fjerde Regningsart, Division, og forekomme altsaa de variable Størrelser ikke i Nævneren, eller som Potentser med negative Exponenter, da kaldes den en heel Funktion, i modsat Fald en brudden Funktion.

Saaledes er:	$u=3+4x6x^{2}$,	en heel Funktion af $x$
	$u={\frac {3+5x+7xy}{2+y^{2}}}$	en heel Funktion af $x$, men en brudden Funktion af $x$ og $y,$
	$u={\sqrt {x^{2}+3}}$	en irrational algebraisk Funktion af $x,$
	$x^{\sqrt {2}},u=\operatorname {log.} {x},$$u=\operatorname {tang.} {x}$	transcendente Funktioner af $x.$

§ 3.

En Funktion siges at være kontinuerlig mellem to Grændser for den variable Størrelse, naar Funktionen for enhver Værdi af den Variable mellem disse Grændser har en reel og endelig Værdi og en forsvindende liden Forandring i den Variables Værdi ogsaa frembringer en forsvindende liden Forandring i Funktionens Værdi. Opfyldes for en vis Værdi af den Variable ikke disse Fordringer, da siges Funktionen for denne Værdi af den Variable at være diskontinuerlig.

Saaledes ere Funktionerne; $a+x,a-x,$$ax,a^{x},$$\operatorname {sin.} {x},\operatorname {cos.} {x}$ kontinuerlige for alle Værdier af $x$ mellem Grændserne $x=-\infty ;$ og $x=+\infty ;$ ${\frac {a}{x}}$ er kontinuerlig for alle Værdier af $x$ mellem Grændserne $x-\infty$ og $x=0,$ samt mellem $x=0$ og $x=+\infty ,$ men diskontinuerlig, naar $x=0;$ thi for denne Værdi er ${\frac {a}{x}}=\infty ,$ og, naar $x$ voxer fra en liden negativ