Side:Forelæsninger over den höiere mathematik.pdf/10

4

af $x.$ Quotienten bliver da af en Grad lig Differentsen mellem Dividendens og Divisors Grader.

Af Funktioner, hvoraf deu ene gaaer op i den anden, mærkes specielt at $a-x$ stedse gaacr op i $a^{n}-x^{n},$ hvor $n$ betegner et heelt positivt Tal, idet ${\frac {a^{n}-x^{n}}{a-x}}=$$a^{n-1}+$$a^{n-2}\cdot x+$$a^{a-3}\cdot x+^{2}$$a^{a-4}\cdot +^{3}$$\ldots x^{n-1}$ er en heel Funktion af $x.$

§ 6.

Enhver heel Funktion af $x,$ som forsvinder naar $x=m,$ er delelig med $x-m.$

Den almindelige Form for en heel Funktion af $x$ er nemlig: $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\dots +a_{n}x^{n}.$ Da denne skal forsvinde, naar $x=m,$ saa er: $0=a_{0}+$$a_{1}m+$$a_{2}m^{2}a_{3}m^{3}+$$\dots +$$a_{n}m^{n}.$

Subtraheres, saa faaes: $f(x)=$$a_{1}(x-m)+$$a_{2}(x^{2}-m^{2})+$$a_{3}(x^{3}-m^{3})+$$\dots +a_{n}(x^{n}-m^{n}).$

Nu er her hvert enkelt Led paa høire Side deleligt med $x-m,$ følegelig ogsaa $f(x)$ delelig med $x-m.$

Funktionen kan altsaa udtrykkes som et Produkt af $x-m$ med Qvotienten, der da bliver en heel Funktion af $n-l^{te}$ Grad.

§ 7.

Naar en heel Funktion af $n{te}$ Grad forsvinder for $n$ forskjellige Værdier af $x:x=a_{1},x=a_{2},x=a_{3},\dots x=a_{n},$ da maa den ifølge foregaaende Paragraph være delelig med $x-a_{1},x-a_{2},x-a_{3},\dots x-a_{n},$ og altsaa ogsaa med disses Produkt: $(x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})\dots (x-a_{n}).$ Da nu detta Produkt er af $n^{te}$ Grad, saa maa Qutioenten blot blive en constant Størrelse, og Funktionen altsaa være: $f(x)=C(x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})\dots (x-a_{n}),$ hvor C betegner en constant Størrelse.

Da saaledes Funktionen: $x^{3}-3x^{2}-6x+8$ forsvinder for de tre Værdier: $x=1,x=4$ og $x=-2,$ og da den høieste Potents af $x$ i samme ingen Coeffcient har, saa bliver: $x^{3}-3x^{2}-6x+8=(x-1)(x-4)(x+2).$

§ 8.

Naar en heel Funktion af $x$ forsvinder for flere end $n$ forskjellige Værdier af $x,$ da maa den være identisk Nul, og altsaa forsvinde for alle Værdier af $x.$

Thi den maatte ellers ifølge foregaaende Paragraph indeholde flere end $n$ Factorer af Formen $x-a$ og følgelig være af høiere end $n^{te}$ Grad. Den