Side:Forelæsninger over den höiere mathematik.pdf/11

5

maa følgelig være identisk Nul, eller alle Coefficienter i samme maa være lig Nul.

Hvis saaledes: $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ skal forsvinde for flere end 3 forskjellige Værdier af $x,$ saa maa man have: $a=0,b=0,c=0,d=0,$ og Funktionen vil da forsvinde for alle Værdier af $x.$

Naar to hele Funktioner af $x$ ere ligestore for flere forskjellige Værdier af $x$ end deres høieste Grad, da ere de identiske d. e. de ere ligestore for alle Værdier af $x,$ og udviklede efter Potentserne af $x$ ere de til samme Potentser af $x$ hørende Coefficienter ligestore. Er saaledes:

$a_{0}+$$a_{1}x+$$a_{2}x^{2}+$$\ldots +a_{n}x^{n}=$$b_{0}+$$b_{1}x+$$b_{2}x^{2}+$$\ldots +b_{n}x^{n}$ for flere end $n$ forskjellige Værdier af </math>x,</math> saa er: $a_{0}=b_{0},$$a_{1}=b_{1},$$a_{2}=b_{2},a_{3}=b_{3},$$\ldots a_{n}=b_{n}.$ Thi isaafald vil deres Differents: $(a_{0}-b_{0})+$$(a_{1}-b_{1})x+$$(a_{2}-b_{2})x^{2}+$$dots+(a_{n}-b_{n})x^{n}$ forsvinde for flere end $n$ forskjellige Værdier af $x,$ følgelig ere Coefficienterne i samme Nul, eller man har: $a_{0}-b_{0}=0,$$a_{1}-b_{1}=0,$$a_{2}-b_{2}=0,$$\ldots a_{n}-b_{n}=0,$ altsaa: $a_{0}=b_{0},$$a_{1}=b_{1},$$a_{2}=b_{2},$$\ldots a_{n}=b_{n}.$

§ 9.

Enhver Størrelse, som indsat istedetfor $x$ bringer en Funktion af $x,$ $f(x),$ til at forsvinde, kaldes en Rod' af Ligningen $f(x)=0.$

Er saaledes: $f(x)=C(x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})$$\ldots (x-a_{n}).$ da ere $a_{1},a_{2},\dots$ Rødder af Ligningen $f(x)=0.$

Af § 8 følger da, at en Ligning af $n^{te}$ Grad, som ikke er identisk Nul, ikke kan have flere end $n$ Rødder.

§ 10.

Er en Ligning ordnet efter Potantserne af den ubekjendte Størrelse, saaledes at den høieste Potents af den Ubekjendte ingen Coefficient har, saa er Coefficienten til den næsthøieste Potents af samme lig minus Summen af alle Rødderne, Coefficienten til den dernæst følgende Potents lig plus Summen af alle Produkter af to af Rødderne, Coefficienten til den dernæst følgende Potents lig minus Summen af alle Produkter af tre af Rødderne o.s.v.

Betegnes nemlig Rødderne i Ligningen $f(x)=0$ med $a_{1},a_{2},a_{3},a<i,a_{4},\ldots a_{n}$ saa er:

$f(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})(x-a_{4})$$\dots (x-a_{n})=$ $x^{n}-(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\ldots a_{n})x^{n-1}+$$(a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{2}a_{3}+\ldots )x^{n-2}-$$(a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{3}a_{4}+\dots )x^{x-3}+$$\ldots \pm (a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}),$