Side:Forelæsninger over den höiere mathematik.pdf/15

9

Samtlige Differentser af den givne Række ville danne en nye Række, hvis almindelige Led bliver $\Delta f(x)-\varphi (x),$ og efter det foregaaende er af $(p-l)^{te}$ Grad. Differentserne mellem Leddene i denne nye Række blive da: $\Delta \varphi (x)=\varphi (x+1)-\varphi (x)=$$\left[f(x+2)-f(x-1)\right]-$$\left[f(x+1)-f(x)\right]=$$f(x+2)-2f(x+1)+f(x)$og benævnes 2den Differents af $f(x).$ Den betegnes ved Tegnet $\Delta ^{2}f(x).$ Ifølge det foregaaende bliver den af en Ener lavere Grad end $\varphi (x);$ altsaa af $(p-2)^{de}$ Grad. Sættes A 2f(x)=A?(x) = = 4*Cx)i saa danne disse Differentser en nye aritmetisk R�kke, hvis almin delige Led 4*(x) altsaa er af (p -- 2)de Grad. Differentsen af denne R�kkes almindelige Led A som betegnes med A 3f(x) og kaldes den 3die Dif ferents af f(x), bliver da en heel Funktion af (p -- 3)de Grad. Forts�ttes paa denne Maade med at s�ge Differentserne mellem Differentserne, saa findes tilslut A p f(x) at v�re en heel Funktion af xaf (p--p)te == ote Grad, d. e. en konstant St�rrelse. En saadan arithmetisk R�kke, hvis almindelige Led er af pte Grad si ges selv at v�re af pte Grad ; og ved en arithmetisk B�kke af pte Grad er f�lgelig pte Differents constant.

Er f. Fx. R�kken af 4de Grad og det almindelige Led lig: f(x) = 3 -f- x2 + 2x4, saa bliver R�kken:

6 + 39 -f 174 + 531 -f 1278 -f- 2631 -j Differentserne blive her: 33, 135, 357, 747, 1353, 102, 222, 390, 606, 120, 168, 216, 48, 48, .... Fjerde Differents er her constant lig 48. Er omvendt f�rste Led i hver af Differentsr�kkerne, samt f�rste Led i R�kken selv givne, saa kan R�kken deraf let udledes Led for Led. Er saale des i ovenstaaende Exempel givne de f�rste Led: 6, 33, 102, 120 og 48, saa skrives f�rs^op den sidste R�kke, hvis Led alle ere 48. Deraf dannes da 48 4- 120-- 168, 48+168 = 216, 0.5.v. . .120+ 102 = 222, 168 + 222 = 390, o. s. v. �l � 14. Er det ~almindwQF Led af en arithmetisk R�kke af p’e Grad, saa er sammes Sum en heel Funktion af. (p~-l)te Grad. Thi Summerne af de 1, 2, 3, 4 .... f�rste Led af en R�kke danne selv en ny R�kke, hvis Differentser den f�rste R�kkes Led ere. S�ttes saaledes

<Xx) == 2f(x) = f(l) + f(2) -f f(3) -f 1

+ f(x),

lb