Mathematik - mere udviklede Begreber og Betegnelser efterhaan den opstaaede Behandlingsmethoder. Mathe. matifen deles i ren og anvendt. 1) Ren Mathe- matit. De her behandlede Størrelser opfattes enten (i Arithmetifen, Algebraen og den høiere algebraiste Analyse) aldeles abstrakt, d. e. uden overhovedet dermed at tnytte nogensomhelst Fore- stilling om Gjenstande, hos hvilke den vedkommende Størrelse (Tal- eller Bogstav størrelse 1) forekommer som iagttagen eller tænkt Egenskab; eller (i Geo- metrien, derunder indbefattet Plangeometri, Stereometri, Trigonometri og de høiere geometriske Videnskabsgrene) vistnok fnyttende Be- grebet om Størrelsen til visse Udstrækninger i Rummet (Rumstørrelser), men dog fremdeles seende bort fra enhver anden farakteriserende Egenskab end Udstrækningens Størrelse og dens Deles der- med i Forbindelse staaende indbyrdes Anordning (f. Ex. Rumstørrelsens Form). I Beliggen hebsgeometrien" giøres den indbyrdes Anord- ning til Udgangspunkt for Betragtningen. Med Hensyn fornemmelig til sin Vanstelighed deles den rene Mathematik i elementær og høiere. Den elementære Mathematit omfatter de for det meste i de høiere Almendannelsesstoler i alle Lande brugelige mathematiste Stolefag, nemlig de lettere Afsnit af Arithmetit og Algebra, Blangeometri, Stereometri, Trigonometri (j. d. Art.), analytist (f. under Art. Koordinater) og deskriptiv Geometri. Ved høiere Mathematik forstaaes dels de vanskeligere og finere Dele af de nævnte Viden- ffaber, faaledes af algebraiste Fag den høiere Lig- ningstheori, høiere Taltheori, videre den største Del af den analytiske Geometri osv., dels og for nemmelig Funktionslæren, der behandler Lovene for den Maade, hvorpaa Størrelserne ind- byrdes fan afhænge af hverandre, Infinitesi malregningen (f. d.) og dennes Anvendelse i Geometrien, Sandsynlighedsregningen (f. d.) og endnu flere specielle Grene. Fælles for alle rent mathematiste Bidenskaber, som derved farak teristist udmærker sig fremfor alle andre Viden- staber, er den saakaldte mathematiste Strenghed (Stringents) i deres Udvikling, idet de fra Erfarin- gen hentede Kjendsgjerninger, som de indeholder, er tilbageført til de færrest mulige (Axiomer, Po- ftulater) og enhver Sætning ellers, der udtales, strengt bevises, d. v. f. giennem absolut fifre logiffe Folgeflutninger tilbageføres til Ariomerne. Til Opnaaelse heraf fræves fornemmelig, at ethvert nyt Begreb faar en Forklaring (Definition), der udelukker enhver Ullarhed. Herved opnades, at ethvert mathematist Resultat er absolut fiffert (mathematist Sifferhed"). Mathematiken staar derfor i Spidsen af de saakaldte exakte eller reale Videnskaber. 2) Ved anvendt Mathematik forstaaes saadanne mathematiske Videnskaber, hvor andet end Tal- eller Rumstørrelser er taget med i Betragtning. Disse er fornemmelig Mekanit, behandlende Kumstørrelsers Forandring i Løbet af Tid, og hvori Rumstørrelserne tillige er begavede med Masse (1. forøvr. d. Art.). Den rationelle Mekanik holder dog fin Behandling saa abftraft, at mange reguer dette Fag til den rene Mathe- 1) Bed en Bogstavstørrelse forstaaes oprindelig fun en i de fleste Tilfælde ubestemt og foranderlig Talstørrelse, der af famme Grunb for større Simpelbeds eller Al- mindeligheds Etplb er betegnet ved et Bogstav. 439 Mathematik matit. Videre Astronomi (s. d.), de mathematiste Dele af Fufif, Geografi, Landmaaling og Kart- tegning faavel i det smaa som i den saakaldte tri- gonometriste Opmaaling osv. - Historie. Nogle af de ældste Folkeslag, for hvem Kjendskab fornem- melig til Astronomi har været af Betydning for deres Livsvilkaar, saaledes 2Egypter og Asjyrer, har af den Grund ogiaa havt nogen mathematist kyndighed. Og allerede hos Grækerne blev Faget en Videnskab, idet navnlig Euklid (ca. 300 f. str.) sammenfattede den da bekjendte Del, der fornemme lig var af geometriff Natur, til en Lærebog, hvis Strenghed er mønsterværdig. Keglesnittene stude redes indgaaende af Apollonius fra Berga (ca. 250 f. Kr.). Archimedes (d. 212 f. Kr.) udvidede Kjend- skabet til Stereometrien gjennem elegante Ræson- nementer; Ptolemæus og Menelaos (resp. 80 og 125 e. Str.) lagde Grunden til den senere Trigo- nometri. Diophant, der løste arithmetiffe Opgaver, er den eneste af Oldtidens Mathematikere, som iffe er Geometer. En af de seneste græste Geometere er Pappus (400 e. Kr.), der ligesom Euklid til- hører den Alexandrinske Skole. Fra denne Tid daler en Tid lang det mathematiste Studium; Romerne havde ingen Sans derfor. Med Ara berne opstaar en ny Stole. Hos dem udvikles Arithmetifen, Behandling af visse Ligninger og navnlig Trigonometrien (trigonometriffe Tabeller), som de anvender i Astronomiens Tjeneste. Ara- berne studerede de græste Verker og var selv Best- europas Lærere i Mathematik og Astronomi. Fra Spanien og Italien udbreder saa det mathematiste Studium sig og gjør Fremgang om end langsomt. Ligninger af 3die og 4de Grad loses (Tartaglia, Ferrari), noget efter 1500, og Tegnsproget (Bogstav regningen) forbedres efterhaanden. Navnlig var | Spekulationen over gamle Problemer fra Graternes Dage, hvortil Løsningen var tabt, vækkende (Vieta, senere Halley o. fl.). Et stort Stød fremad bragte Opfindelsen af Logarithmer (ved Neper 1614), som i væsentlig Grad lettede de sværeste Beregninger, og iffe længe efter Brugen af Ko- ordinater i Geometrien (Cartefius, 1634). De dybfindigste geometriske Opdagelser, som til da var gjort, stete ved Desargues og Pascal (ca. 1640), men disse glemtes formelig ved dent epokegjørende Opfindelse af Differen tial og Integralregningen, som omtrent paa engang Newton og Leibnit gjorde (ca. 1680), og som videre udvikledes og anvendtes paa den mangfoldigste Maade, især paa Geometri og Mekanik af Taylor, Mac-Lanrin, Euler, Bernouil- fi'erne, D'Alembert, Lagrange, Laplace, Legendre og Monge (ca. 1740-1810). Andre Mathema tifere, der ikke saa meget gjorde Brug af Infini- tefimalregningen, er Geometrene Lambert og Clai- raut. Gauss er en af de største Mathematikere, men han offentliggjorde forholdsvis faa af fine dybe Undersøgelser, og hans Navn er derfor knyttet til færre betydningsfulde Theorier end hans Ge- nialitet og Indsigt fortjente. Ea. 1820-30 ftete der en betydningsfuld Udvikling. Geometrien, som allerede fiden Oprettelsen af den militære volytekniske Stole i Paris, var bleven behandlet paa nye og frugtbare Maader af Monge og hans Disciple, fit overordentlig Opsving ved en af disse, Poncelet samt Tyskerne Möbius og Steiner; samtidig blev den algebraiske Analyse gjennem
