Side:Forelæsninger over den höiere mathematik.pdf/13

7

Man faaer altsaa:

$n(1+x)^{n-1}=$$a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+$$\dots +na_{n}x^{n-1}.$

Multiplicerer man her paa begge Sider med $1+x,$ saa faaes:

$\left.{\begin{aligned}n(l+x)^{n}=a_{1}&+a_{2}\\&+a_{1}\end{aligned}}\right\}x$$\left.{\begin{aligned}&+3a_{3}\\&+2a_{2}\end{aligned}}\right\}x^{2}$$\left.{\begin{aligned}&+4a_{4}\\&+3a_{3}\end{aligned}}\right\}x^{3}$$\left.{\begin{aligned}+\dots &+na_{n}\\&+(n-1)a_{n-1}\end{aligned}}\right\}x^{n-1}+na_{0}x^{n}.$

Men man havde ovenfor:

$(1+x)^{n}=$$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+$$\ldots +a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}$

og følgelig, naar man multiplicerer med $n$ paa begge Sider:

$n(1+x)^{n}=$$na_{0}+na_{1}x+na_{2}x^{2}+na_{3}x^{3}+$$\ldots +na_{n-1}x^{n-1}+na_{n}x^{n}.$

Sammenligner man denne Udvikling med den foregaaende for $n(1+x)^{n}$ saa skulle de være ligestore for alle Værdier af $x,$ og følgelig maa alle Coefficienterne til de samme Potentser af $x$ i begge Udviklinger være ligestore, (§ 8), eller man har:

${\begin{array}{rccc}&a_{1}&=&na_{0},\\{\text{Men}}&a_{0}&=&1\\{\text{Altsaa}}&a_{1}&=&n\\\\\end{array}}$ ${\begin{array}{ccl}2a_{2}&+&a_{1}=na_{1},\\2a_{2}&=&na_{1}-a_{1}\\&=&a_{1}(n-1)\\a_{2}&=&{\frac {a_{1}(n-1)}{2}}\\&=&{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}\end{array}}$ ${\begin{array}{ccl}3a_{3}&+&2a_{2}=na_{2},\\3a_{3}&=&na_{2}-2a_{2}\\&=&a_{2}(n-2)\\a_{3}&=&a_{2}{\frac {(n-2)}{3}}\\&=&{\frac {n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}}\end{array}}$ ${\begin{array}{ccl}4a_{4}&+&3a_{3}=na3,\dots \\4a_{4}&=&na_{3}-3a_{3}\\&=&a_{3}(n-3)\\a_{4}&=&a_{3}{\frac {(n-3)}{4}}\\&=&{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \ 4}}\end{array}}$

Den sidste Coefficient bliver ${\frac {n(n-1)(n-2)\ldots 2\cdot 1}{1\cdot 2\cdot 3\ldots (n-1)n}}=1.$

Indsættes disse Værdier af Coefficienterne, saa faaes:

$(1+x)^{n}=$$1+{\frac {n}{1}}\cdot x+$${\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}\cdot x^{2}+$${\frac {n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}}\cdot x^{3}+$${\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}\cdot x^{4}+$$\ldots +x^{n}.$

Man kan heraf let udlede en Formel for $(a+x)^{n}.$ Man har nemlig: $a+x=a\left.(1+{\frac {x}{a}}\right),$ alltsaa: $(a+x)^{n}=a^{n}\left.(1+{\frac {x}{a}}\right)^{n}.$ Sætter man nu i den foregaande Formel ${\frac {x}{a}}$ istedetfor $x,$ saa faaes:

$\left.(1+{\frac {x}{a}}\right)^{n}=$$1+{\frac {n}{1}}\cdot {\frac {x}{a}}+$${\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}\cdot {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+$${\frac {n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}}\cdot {\frac {x^{3}}{a^{3}}}+$${\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}\cdot {\frac {x^{4}}{a^{4}}}+$$\ldots +{\frac {x^{n}}{a^{n}}}.$

Multipliceres her overalt med $a^{n},$ saa faaes:

$(a+x)^{n}=$$a^{n}+{\frac {n}{1}}a^{n-1}x+$${\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}a^{n-2}x^{2}+$${\frac {n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}}a^{n-3}x^{3}+$${\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}a^{n-4}x^{4}+$$\ldots +x^{n}.$