Side:Forelæsninger over den höiere mathematik.pdf/12

6

hvilket findes umiddelbart ved at udføre Multiplicationerne, og ordne Leddene efter de faldende Potentser af $x.$ Er nu

$f(x)=$$x_{n}^{n-1}+$$A_{1}x^{n-2}+$$A_{2}x^{n-3}+$$A_{3}x^{n-4}+$$\dots +A_{n}x^{n},$ saa bliver:

$A_{1}=-(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n})$

$A2=+(a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{2}a_{3}+\dots )$

$A_{3}=-(a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{4}+a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{4}+\dots )$

$\dots \ldots \ldots$ 

$A_{n}=\pm a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n},$

hvor i det sidste Led skal sættes $+,$ naar $n$ er et lige Tal, $-,$ naar $n$ er et ulige Tal.

Den Newtonske Binominalformel.

At udvikle Funktionen $(1+x)^{n}$ hvor $n$ er et heelt positivt Tall efter Potentserne af $x.$

Da $(1+x)^{n}$ er en heel Funktion af $n^{te}$ Grad, saa kan den sættes under Formen: $(1+x)^{n}$ = a_0 +a_1x +a_2x^2 +a_3x^3+a_4x^4 + \ldots + a_na^n.</math> Sættes her $x=0,$ saa findes den første Coefficient: $a_{0}=1.$ For at finde de øvrige Coefficienter sættes $y$ istedetfor $x,$ hvorved faaes:

$(1+y)^{n}=$$a_{0}+$$a_{1}y+a_{2}y^{2}+$$a_{3}y^{3}+a_{4}y^{4}+$$\dots +a_{n}y^{n}.$

Subtraheres denne Ligning fra det foregaaende, saa faaes:

$(1+x)^{n}-$$(1+y)^{n}=$$a_{1}(x-y)+$$a_{2}(x^{2}-y^{2})+$$a_{3}(x^{3}-y^{3})+$$a_{4}(x^{4}-y^{4})+$$\ldots +a_{n}(x^{n}-y^{n}).$

Man dividerar nu med: $(1+x)-(1+y)=x-y,$ hvarvod faaes:

${\frac {(1+x)^{n}-(1+y)^{n}}{(1+x)-1+y)}}=$$a_{1}+a_{2}{\frac {x^{2}-y^{2}}{x-y}}+$$a_{3}{\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}+$$a_{4}{\frac {x^{4}-y^{4}}{x-y}}+$$\dots +a_{n}{\frac {x^{n}-y^{n}}{x-y}}.$

Man sætter nu her $y=x,$ idet man bemærker at ialmindelighed:

${\frac {x^{p}-y^{p}}{x-y}}=x^{p-1}+x^{p-2}\cdot y+x^{p-3}\cdot y^{2}+\dots +x\cdot y^{p-2}+y{p-1},$

hvilket Udtryck, narr $y=x,$ bliver lig: $px^{p-1},$ idet hver Led bliver ligt $x^{p-1}$ och Leddenes Antal er $p.$ Naar $y$ bliver ligt </math>x,</math> saa bliver følelig:

${\frac {x^{2}-y^{2}}{x-y}}=2x,$ ${\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}=3x^{2}$ ${\frac {x^{4}-y^{4}}{x-y}}=4x^{3},$ ${\text{o.s.v.}}\dots {\frac {x^{n}-y^{n}}{x-y}}=nx^{n-1},$

of ligeledes: ${\frac {(1+x)^{n}-(1+y)^{n}}{(1+x)-(1+y)}}=n(1+x)^{n-1}.$